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已知定义在R上的凼数y=f(x)满足f(x+A+B)=f(x),其中A,B分别是函数g(x)=
|x|+sinx+1
|x|+1
的最大值和最小值,若当0≤x≤1时,f(x)=(
1
2
x,则f(2015)=(  )
A、1
B、0
C、-
1
2
D、
1
2
考点:三角函数的最值
专题:计算题,函数的性质及应用
分析:令f(x)=g(x)-1=
sinx
1+|x|
,判断f(x)为奇函数,可得A+B=2,再由周期函数的定义,可得f(x)为最小正周期为2的函数,则f(2015)=f(1),由已知解析式,计算即可得到.
解答: 解:g(x)=
|x|+sinx+1
|x|+1
=1+
sinx
1+|x|

令f(x)=g(x)-1=
sinx
1+|x|

f(-x)=-
sinx
1+|x|
=-f(x),
则有f(x)为奇函数,
设f(x)的最大值为m,则最小值为-m,
则A=m+1,B=-m+1,
即有A+B=2,
则f(x+2)=f(x),
则f(x)为最小正周期为2的函数,
即有f(2015)=f(2×1007+1)=f(1),
当0≤x≤1时,f(x)=(
1
2
x
则f(1)=
1
2

即f(2015)=
1
2

故选D.
点评:本题考查函数的奇偶性的运用:求最值,考查函数的周期性的运用:求函数值,考查运算能力,属于中档题和易错题.
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3
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3
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