Question

18．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA₁的中点，OA⊥平面BDE，则$\frac{{A{A_1}}}{AB}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D为原点，建立空间直角坐标系OO-xyz，利用向量法能求出$\frac{A{A}_{1}}{AB}$的值．

解答 解：以D为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
设AB=a，AA₁=c，
则A（a，0，0），E（a，0，$\frac{c}{2}$），D（0，0，0），
B（a，a，0），D（0，0，c），O（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{c}{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（a，0，$\frac{c}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），
$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}，-\frac{c}{2}$），
∵OA⊥平面BDE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{DE}=\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{c}^{2}}{4}=0}\\{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{DB}=\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}=0}\end{array}\right.$，解得c=$\sqrt{2}a$，
∴$\frac{A{A}_{1}}{AB}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．