Question

已知向量，函数f（x）=a•b．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象按向量c=（m，0），得到函数y=g（x）的图象，且g（x）为偶函数，求正实数m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，sin²x-），
∴f（x）=•=sinxcosx+（sin²x-）
=sin2x+×-
=sin2x-cos2x
=sin（2x-）．
由2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z）得：kπ-≤x≤kπ+，（k∈Z）
f（x）的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（2）f（x）图象按向量=（m，0），得到函数y=g（x）的图象，
则：g（x）=f（x-m）=sin[2（x-m）-]=sin（2x-2m-），
∵g（x）为偶函数，
∴-2m-=kπ+，（k∈Z）
∴当k=-1时，m最小．m_min=．
分析：（1）由题意可将f（x）=•化为：f（x）=sin（2x-），从而利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）单调递增区间；
（2）由题意可求得g（x）=f（x-m）=sin（2x-2m-），再结合g（x）为偶函数，可得到，-2m-=kπ+，（k∈Z），于是可得正实数m的最小值．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查向量的数量积的坐标运算，向量的平移及函数的奇偶性的应用，综合性强，属于中档题．