Question

已知三个锐角A、B、C成等差数列且sinA、sinB、sinC成等比数列．求证：A=B=C．

Answer 1

分析：先根据A、B、C成等差数列，求得B，再根据sinA、sinB、sinC成等比数列，得即（

3

2

）²=（sinA）•sin（120°-A），化简整理即可求得sin（2A-30°）进而求得A和C都是60°，原式得证．

解答：证明：∵三个锐角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C
∵A+B+C=180°
∴B=60°，C=120°-A，
∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即（

3

2

）²=（sinA）•sin（120°-A），
化简，得

3

4

sin2A-

1

4

cos2A=

1

2

，
∴sin（2A-30°）=1，因为a为锐角，所以2A-30°=90°，A=60°，则C=60°，
∴A=B=C．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列在解三角形中的应用．等差中项和等比中项的利用是解本题的关键．