Question

8．过点P（1，1）作直线l交圆x²+y²=4于A，B两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，则直线l的方程为x=1或y=1．

Answer 1

分析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y-k+1=0，求出圆x²+y²=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆心到直线l的距离d=$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由d²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，能求出直线l的方程．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得A（1，-$\sqrt{3}$），B（1，$\sqrt{3}$），
此时|AB|=2$\sqrt{3}$，成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
圆x²+y²=4的圆心O（0，0），半径r=2，
圆心到直线l的距离d=$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵$|AB|=2\sqrt{3}$，
∴由d²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，得（$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4，
解得k=0．∴直线l的方程为y=1．
∴直线l的方程为x=1或y=1．
故答案为：x=1或y=1．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、圆的性质的合理运用．