Question

已知a＞0，f（x）=x+alnx，若对区间(

1

2

，1)内的任意两个相异实数x₁，x₂，恒有|f(x1)-f(x2)|＞|

1

x1

-

1

x2

|，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：将问题转化为

|1+a(lnx1-lnx2)|

x1-x2

＞

1

|x1x2|

（1），x₁，x₂→

1

2

时（1）变为|1+2a|＞4，x₁，x₂→1时（1）变为|1+a|＞1，解出取交集即可．

解答： 解：已知a＞0，f（x）=x+alnx，
对区间（

1

2

，1）内的任意两个相异的实数x₁，x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞|

1

x1

-

1

x2

|，
∴|x₁-x₂+a（lnx₁-lnx₂）|＞|

x1-x2

x1x2

|，
两边都除以|x₁-x₂|，
∵|1+

a(lnx1-lnx2)

x1-x2

|＞

1

|x1x2|

，（1）
（lnx）′=

1

x

∈（1，2），
∴

lnx1-lnx2

x1-x2

∈（1，2），
x₁，x₂→

1

2

时（1）变为|1+2a|＞4，
2a+1＞4，或2a+1＜-4，
a＞

3

2

或a＜-

5

2

；
x₁，x₂→1时（1）变为|1+a|＞1，
a+1＞1或a+1＜-1，
a＞0或a＜-2．
求两者的交集得a＞

3

2

或a＜-

5

2

．
又∵a＞0，
∴a＞

3

2

．

点评：本题考查了求函数闭区间上的最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．