Question

若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，前n项和为T_n，并且an2=T2n-1，求通项a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且an2=2n+1bn．2n•Sn＞m•2n-2an2对?n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用an2=T2n-1，根据新定义，可求通项a_n；
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，从而可求数列{b_n}的前n项和为S_n，从而不等式2n•Sn＞m•2n-2an2即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4，分离参数可得m-3＜

3n+1

2n

恒成立，利用归纳法，可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）an2=T2n-1=

(2n-1)(a1+a2n-1)

2

=

(2n-1)•2an

2

=(2n-1)•an
∴a_n[a_n-（2n-1）]=0
∴a_n=2n-1，或a_n=0…（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即{an2}为首项为4，公差为2的等差数列，
∴an2=4+2(n-1)=2n+2…（6分）
由an2=2n+1bn得bn=

an2

2n+1

=

2n+2

2n+1

=

n+1

2n

∴Sn=1+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

①；

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②可得

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

∴Sn=3-

n+3

2n

…（9分）
不等式2n•Sn＞m•2n-2an2即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4
也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即需要m-3＜

3n+1

2n

恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2ⁿ；n=4时，3n+1＜2ⁿ；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
归纳知：n≥4时，3k+1＜2^k，

3n+1

2n

＞0，∴m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3…（13分）

点评：本题考查新定义，等差数列的性质、通项、前n项和公式，错位相减法求和，恒成立，数学归纳法，探索分析和推理解决问题的能力．