Question

设f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N⁺）．
（1）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（2）求f_n（x）的极小值；
（3）设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，求a-b的最小值．

Answer 1

（1）由题意可得，f1(x)=(x+1)•ex，f2(x)=(x+2)•ex，f3(x)=(x+3)•ex，…，
猜测出f_n（x）的表达式fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*)．
（2）由（1）可知，fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*)，
∴f′n(x)=(x+n+1)•ex，
令f′_n（x）=0，解得x=-（n+1），
∵当x＞-（n+1）时，f'_n（x）＞0，当x＜-（n+1）时，f'_n（x）＜0，
∴当x=-（n+1）时，f_n（x）取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即f_n（x）的极小值为yn=-e-(n+1)(n∈N*)．
（3）∵gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，
∴当x=-（n+1）时，g_n（x）取最大值，即a=gn(-(n+1))=(n-3)2，
又∵b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
问题转化为求cn=(n-3)2+e-(n+1)的最小值．
解法1（构造函数）：
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），
则h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1），又h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
又∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0，
又h'（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴0≤x＜x₀时，h'（x₀）＜0，当x＞x₀时，h'（x₀）＞0，
即h（x）在区间[x₀，+∞）上单调递增，在区间[0，x₀）上单调递减，
∴（h（x））_min=h（x₀）．
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，则h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4′．
解法2（利用数列的单调性）：
∵cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，
∴当n≥3时，2n-5≥1，

1

en+2

＞0，

1

en+1

＜1，
∴2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，
∴c_n+1＞c_n．
∵c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4．