Question

已知函数f(x)=x³x²+(k²-k-2)x(k∈R),

(1)若k=0,求f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)同时满足以下三个条件:

①对任意实数x＜0,都有f(x)＜f(0);

②对任意实数x＞2,都有f(x)＞f(2);

③存在实数x₁＜1＜x₂,使得f(x₁)＞f(1)＞f(x₂).

求实数k的取值范围.

Answer 1

解:(1)若k=0,f′(x)=7x²-13x-2=(7x+1)(x-2),

f′(x)＞0x＞2或x＜;f′(x)＜0＜x＜2.

所以f(x)的单调增区间为(-∞,),(2,+∞);单调减区间为(,2).

(2)由题意可得:

由③知f(x)存在减区间(m,n),且1∈(m,n),

∴f′(1)＜0,解得-2＜k＜4.

由②知f(x)在(2,+∞)上单调递增,∴f′(2)≥0,解得k≥3或k≤0;

由①知f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f′(0)≥0,解得k≥2或k≤-1.

综上,k的取值范围为［3,4)∪(-2,-1］.