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选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x+2|-a).
(Ⅰ)当a=7时,求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)由题意可得,|x-1|+|x+2|>7,故有:,或,或,把各个不等式组的解集取并集,即得所求.
(Ⅱ)由不等式可得|x-1|+|x+2|≥a+8恒成立,再由|x-1|+|x+2|的最小值等于3,故有a+8≤3,由此求得实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由题设知:|x-1|+|x+2|>7,
不等式的解集是以下不等式组解集的并集:,或,或…(3分)
解得函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(3,+∞);     …(5分)
(Ⅱ)不等式f(x)≥3,即|x-1|+|x+2|≥a+8,
∵x∈R时,恒有|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3,…(8分)
∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R,
∴a+8≤3,
∴a的取值范围是(-∞,-5].            …(10分)
点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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