Question

（2012•烟台一模）已知cos

π

3

=

1

2

，cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

，cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是

cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

．

Answer 1

分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第n个等式，等式左边为n个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从π到nπ，分母为（2n+1），右式为

1

2n

；将规律表示出来可得答案．

解答：解：根据题意，分析所给的等式可得：
cos

π

3

=

1

2

，可化为cos

1×π

2×1+1

=

1

21

cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

，可化为cos

1×π

2×2+1

cos

2×π

2×2+1

=

1

22

cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

，可化为cos

1×π

2×3+1

cos

2×π

2×3+1

cos

3×π

2×3+1

=

1

23

；
则一般的结论为cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

；
故答案为cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

．

点评：本题考查归纳推理的运用，解题的关键在于发现3个等式的变化的规律．