Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．
（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．

解答：解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（-2，0），从而有

c=2 2a=|AF|+|AF′|=8

，解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=

3

2

x+t，
由

y= 3 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

得3x²+3tx+t²-12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

3

，
另一方面，由直线OA与l的距离4=

|t|

9 4 +1

，从而t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，所以符合题意的直线l不存在．

点评：本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．