Question

（文）已知函数f（x）=（sin

3

ωx+cosωx）cosωx-

1

2

（ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角公式化简 f（x）的结果为sin（2ωx+

π

6

），根据周期求出ω，由 2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得f（x）的增区间．
（2）根据等式和正弦定理得到 2sinAcosB=sinA，求出cosB，从而求得 B，得到f（A）=sin（

1

2

•A+

π

6

），
0＜A＜

2π

3

，求出f（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=sin

3

ωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），

2π

ω

=4π，∴ω=

1

4

，
∴f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）．
由   2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，得    4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
故f（x）的增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
∵f（A）=sin（

1

2

•A+

π

6

），0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

1

2

•A+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜f（A）＜1，函数f（A）的取值范围为  （

1

2

，1）．

点评：本题考查正弦函数的单调性、定义域、值域，三角公式、正弦定理的应用，
根据角的范围求三角函数值的范围是解题的难点．