Question

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m=时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）用等差数列求和公式，结合对数的运算性质可得：a_n=m²ⁿ，从而有b_n=n•（）^n-1，最后用错位相减法结合等比数列的求和公式，得到数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）由题意，不等式c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，代入a_n的表达式并化简可得m²＜（）_min．通过讨论单调性可得当n=1时，的最小值是，从而得到m²＜，结合0＜m＜1，得到实数m的取值范围是（0，）．
解答：解：（1）由题意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m=，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（）²ⁿ=n•（）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（）+2•（）¹+3•（）²+…+n•（）^n-1，①
S_n=1•（）¹+2•（）²+3•（）³+…+n•（）ⁿ，②…（4分）
①-②，得S_n=（）+（）¹+（）²+…+（）^n-1-n•（）ⁿ=…（6分）
∴化简得：S_n=-（n+2）（）^n-1+4  …（7分）
（2）解：由（Ⅰ）知，c_n=a_n•lga_n=2n•m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm对一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m²，对一切n∈N^*成立，
只需m²＜（）_min即可，…（10分）
∵h（n）=在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（）_min=．…（12分）
∴m²＜，且0＜m＜1，，∴0＜m＜．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，）满足条件．…（14分）
点评：本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体，求数列的前n项和并求数列单调递增时参数的取值范围，着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．