【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若曲线与曲线
在公共点处有共同的切线,求实数
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问函数是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.
【答案】(I);(II)无零点.
【解析】试题分析:(Ⅰ)设曲线与曲线
公共点为
则由
,
,即可求
的值;
(Ⅱ)函数是否有零点,转化为函数
与函数
在区间
是否有交点,求导根据函数单调性可知
最小值为
,
最大值为
,从而无零点
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
,
,
设曲线与曲线
公共点为
由于在公共点处有共同的切线,所以,解得
,
.
由可得
.
联立解得
.
(Ⅱ)函数是否有零点,
转化为函数与函数
在区间
是否有交点,
,可得
,
令,解得
,此时函数
单调递增;
令,解得
,此时函数
单调递减.
∴当时,函数
取得极小值即最小值,
.
可得
,
令,解得
,此时函数
单调递增;
令,解得
,此时函数
单调递减.
∴当时,函数
取得极大值即最大值,
.
因此两个函数无交点.即函数无零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是圆
内一个定点,
是圆上任意一点.线段
的垂直平分线和半径
相交于点
.
(Ⅰ)当点在圆上运动时,点
的轨迹
是什么曲线?并求出其轨迹方程;
(Ⅱ)过点作直线
与曲线
交于
、
两点,点
关于原点
的对称点为
,求
的面积
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数),曲线
,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的极坐标方程;
(2)若射线与曲线
,
分别交于
两点,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图(1)五边形中,
,将
沿
折到
的位置,得到四棱锥
,如图(2),点
为线段
的中点,且
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若直线与所成角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线y=x+b与函数f(x)=ln x的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.
(1)求b的取值范围;
(2)当x2≥2时,证明x1·<2.
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