Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令b_n=

1

an•an+1

，且已知f（x）=2^x-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜

1

6

；
（3）求证：

f(2)

a1

+

f(3)

a2

+

f(4)

a3

+…+

f(n+1)

an

＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用累加法即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用列项法将b_nf（n）=

1

(2n+1)(2n+1+1)

•2^n-1转化为b_nf（n）=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

），求和时再利用放缩法即可证得T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜

1

6

；
（3）法一：构造函数，令S=

f(2)

a1

+

f(3)

a2

+

f(4)

a3

+…+

f(n+1)

an

=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

，利用基本不等式可证明（

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

）•（

21+1

21

+

22+1

22

+…+

2n+1

2n

）≥n²，再对

21+1

21

+

22+1

22

+…+

2n+1

2n

通过分离常数得到n+1-

1

2n

，放缩后即可得证结论；
法二：数学归纳法：①n=1时S=

21

21+1

＞

12

1+1

成立，
②假设n=k，k≥2时，S=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2k

2k+1

＞

k2

k+1

成立，
则n=k+1，用分析法即可证得结论成立．

解答：解：（1）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
（n≥3）…3分
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．…（4分）
证明：（2）b_nf（n）=

1

(2n+1)(2n+1+1)

•2^n-1=

1

2

•

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）…（6分）
T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
=

1

2

[（

1

1+2

-

1

1+22

）+（

1

1+22

-

1

1+23

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）]
=

1

2

（

1

1+2

-

1

2n+1+1

）
＜

1

2

•

1

1+2

=

1

6

．…（7分）
（3）法一：令S=

f(2)

a1

+

f(3)

a2

+

f(4)

a3

+…+

f(n+1)

an

=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

，
∵S=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

≥n

n	21 21+1 • 22 22+1 •…• 2n 2n+1

…（8分）

21+1

21

+

22+1

22

+…+

2n+1

2n

≥n

n	21+1 21 • 22+1 22 •…• 2n+1 2n

…（10分）
两式相乘有（

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

）•（

21+1

21

+

22+1

22

+…+

2n+1

2n

）≥n²，
即（

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

）•（n+1-

1

2n

）≥n²，…（11分）
∴S=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2n

2n+1

≥

n2

n+1- 1 2n

＞

n2

n+1

…（12分）
法二：数学归纳法：
①n=1时S=

21

21+1

＞

12

1+1

成立，
n=2时，S=

21

21+1

+

22

22+1

＞

22

2+1

成立；…（8分）
（只写n=1时S=

21

21+1

＞

12

1+1

成立，本问不得分）
②假设n=k，k≥2时，S=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2k

2k+1

＞

k2

k+1

成立，
则n=k+1，S=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2k

2k+1

+

2k+1

2k+1+1

＞

k2

k+1

+

2k+1

2k+1+1

，
要证S=

21

21+1

+

22

22+1

+…+

2k

2k+1

+

2k+1

2k+1+1

＞

(k+1)2

k+2

，
只需证

k2

k+1

+

2k+1

2k+1+1

＞

(k+1)2

k+2

，
即证

2k+1

2k+1+1

＞

(k+1)2

k+2

-

k2

k+1

，
即证

2k+1

2k+1+1

＞

k2+3k+1

(k+1)(k+2)

…（9分）
即证

2k+1

2k+1+1

＞

k2+3k+1

(k+1)(k+2)

，
即证1-

1

2k+1+1

＞1-

1

(k+1)(k+2)

，
即证2^k+1+1＞（k+1）（k+2）…（10分）
k≥5时，2^k+1+1＞2

C

0 k+1

+2

C

1 k+1

+2

C

2 k+1

+1=k²+3k+3＞（k+1）（k+2）…（11分）
再验证k=2、3、4时2^k+1+1＞（k+1）（k+2）成立．后略…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查裂项法求和与放缩法证明不等式，考查化归思想，分类讨论思想的综合应用，属于难题．