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已知函数

(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,

(Ⅲ)如果,且,证明

 

 

【答案】

所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

 

【解析】(Ⅰ)解:f’

令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表

X

()

1

()

f’(x)

+

0

-

f(x)

极大值

所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。

函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即

于是

当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

Ⅲ)证明:(1)

(2)若

根据(1)(2)得

由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内事增函数,所以>,即>2.

 

 

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