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    已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
    设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．
    （Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
    ①求映射f下不动点的坐标；
    ②若P1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
    （Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(
    x+y
    2
    +1，
    x-y
    2
    )    ，P1（2，3）．求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为
    		5
    的收敛圆．
    分析：（Ⅰ）①设不动点的坐标为P0（x0，y0），依据对应关系及不动点的定义，列解方程组 
    x0=2x0
    y0=1-y0
    ，并解即可．
    ②由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1）所以|P1P4|=
    		58
    ＞6，则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内
    （Ⅱ） 由Pn+1=f（Pn），得，
    xn+1=
    xn+yn
    2
    +1
    yn+1=
    xn-yn
    2
    构造两个等比数列 写出它们的通项公式，设A（3，1），，计算Pn到A的距离，可得此距离小于
    		5
    ，故所有的点Pn（n∈N*）都在以 P为圆心，
    		5
    为半径的圆内．
    解答：解：（Ⅰ）①解：设不动点的坐标为P0（x0，y0），
     由题意，得
    x0=2x0
    y0=1-y0
    ，解得x0=0， y0=
    1
    2
    ，
    所以映射f下不动点为P0(0， 
    1
    2
    )
    ②结论：点Pn（xn，yn）不存在一个半径为3的收敛圆．
      证明：由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1），
       所以|P1P4|=
    		58
    ＞6，
       则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内，
       所以点Pn（xn，yn）（n∈N*） 不存在一个半径为3的收敛圆
     （Ⅱ）证明：由P1（2，3），得P2(
    7
    2
    ，-
    1
    2
    )    ．
    由Pn+1=f（Pn），得
    xn+1=
    xn+yn
    2
    +1
    yn+1=
    xn-yn
    2

    所以xn+1+yn+1=xn+1，xn+1-yn+1=yn+1，
       由Pn+2=f（Pn+1），得
    xn+2=
    xn+1+yn+1
    2
    +1
    yn+2=
    xn+1-yn+1
    2
    ，
      所以xn+2=
    1
    2
    xn+
    3
    2
    ， yn+2=
    1
    2
    yn+
    1
    2

      即xn+2-3=
    1
    2
    (xn-3)， yn+2-1=
    1
    2
    (yn-1)    ，
      由x1-3≠0，x2-3≠0，得xn-3≠0，
    同理yn-1≠0，
      所以
    xn+2-3
    xn-3
    =
    1
    2
    ， 
    yn+2-1
    yn-1
    =
    1
    2
    ，
      所以数列{x2n-1-3}，{x2n-3}（n∈N*）都是公比为
    1
    2
    的等比数列，首项分别为   x1-3=-1， x2-3=
    1
    2
    ，
      所以x2n-1-3=-(
    1
    2
    )n-1， x2n-3=
    1
    2
    ×(
    1
    2
    )n-1    ，
     同理可得y2n-1-1=2×(
    1
    2
    )n-1， y2n-1=-
    3
    2
    ×(
    1
    2
    )n-1
     所以对任意n∈N*，|xn-3|≤1，|yn-1|≤2，
     设A（3，1），则|APn|=
    		(xn-3)2+(yn-1)2
    ≤
    		1+4
    ，
      所以|APn|≤
    		5
    ，
     故所有的点Pn（n∈N*）都在以A（3，1）为圆心，
    		5
    为半径的圆内或圆上，
      即点Pn（xn，yn）存在一个半径为
    		5
    的收敛圆
    点评：本题考查映射的定义，构造等比数列并求通项公式，两点间的距离公式的应用．考查分析解决问题，阅读处理信息等能力．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
    12
    y)    ．
    （Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
    （Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年西城区抽样文）（14分）

       已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

    设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

    若点在映射f下的象为点.     

    (Ⅰ) 求映射f下不动点的坐标；

         (Ⅱ) 若的坐标为(2,2)，求证：点存在一个半径为2的收敛圆.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年西城区抽样理）（14分）

       已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

    设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

        (Ⅰ) 若点在映射f下的象为点.

      1 求映射f下不动点的坐标；

      2 若的坐标为(1,2)，判断点是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由.

    (Ⅱ) 若点在映射f下的象为点,(2,3). 求证：点存在一个半径为的收敛圆.

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    科目：高中数学 来源：北京模拟题 题型：解答题

    已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f(P)，设P1（x1，y1），P2=f(P1)，P3=f(P2)，…，Pn=f(Pn-1)，…。如果存在一个圆，使所有的点Pn(xn，yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn，yn)的一个收敛圆。特别地，当P1=f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点，
    (Ⅰ)若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(2x，1-y)，
    ①求映射f下不动点的坐标；
    ②若P1的坐标为(1，2)，判断点Pn(xn，yn)(n∈N*)是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由；
    (Ⅱ)若点P(x，y)在映射f下的象为点，P1(2，3)，求证：点Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一个半径为的收敛圆。

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