Question

14．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}}\right.$，则下列结论中错误的是（　　）

• A． f（x）的值域为{0，1}
• B． f（x）是偶函数
• C． f（x）是周期函数
• D． f（π+x）=f（π-x）

Answer 1

分析 由函数值域的定义易知结论A正确；由偶函数定义可证明结论B正确；由周期函数定义可证明结论C正确；举出反例x=π，可证得D错误；

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}}\right.$，
∴f（x）的值域为{0，1}，故A正确；
当∵f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x为有理数\\ 0，x为无理数\end{array}\right.$=f（x），
∴f（x）是偶函数，故B正确；
对于任意一个非零有理数T，
f（x+T）=$\left\{\begin{array}{l}1，x为有理数\\ 0，x为无理数\end{array}\right.$=f（x），
故f（x）是周期函数，故C正确；
当x=π时，f（π+x）=0，f（π-x）=1，故D错误，
故选：D．

点评 本题主要考查了函数的定义，偶函数的定义和判断方法，函数周期性的定义和判断方法，属基础题．