Question

9．已知定义在R上的函数f（x），若f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，则f（2015）=（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 0
• D． 2015²

Answer 1

分析 根据题意和函数的奇偶性的性质通过化简、变形，求出函数的周期，利用函数的周期性和已知的解析式求出f（2015）的值．

解答 解：∵f（x）是奇函数，f（x+1）是偶函数，
∴f（x+1）=f（-x+1），则f（x+2）=f（-x）=-f（x），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则奇函数f（x）是以4为周期的周期函数，
又∵当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1）=-1，
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性的综合应用，考查化简、变形能力，属于基础题．