Question

已知圆C：x²+y²=5m²（m＞0），直线l过点M（-m，0）且与圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）如果直线l的斜率为1，且|AB|=6，求m的值；
（Ⅱ）设直线l与y轴交于点P，如果|

PA

|=2|

PM

|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（I）由题意得直线l的方程为x-y+m=0，利用点到直线的距离公式算出圆C的圆心到l直线的距离为d=

|m|

2

=

m

2

．再根据|AB|=6利用垂径定理建立关于m的方程，解之可得m=

2

．
（II）设A（x₁，y₁）、直线l：y=k（x+m），由|

PA

|=2|

PM

|可得

PA

=2

PM

或

PA

=-2

PM

，利用向量的坐标运算得到点A坐标关于k、m的式子，结合点A在圆C上得到关于k、m的方程组，解之可得直线l的斜率k的值．

解答：解：（I）∵直线l过点M（-m，0）且斜率为1，
∴直线l的方程为y=x+m，即x-y+m=0，
圆C：x²+y²=5m²（m＞0）的圆心为（0，0），半径r=

5

m，
可得圆心到l直线的距离为d=

|m|

2

=

m

2

．
∵直线l被圆截得的弦长|AB|=6，
∴由垂径定理，得5m2-(

|m|

2

)2=(

1

2

|AB|)2=9，
解之得m²=2，结合m＞0，得m=

2

．
（II）设A（x₁，y₁），直线l：y=k（x+m），可得点P（0，km）．
∵|

PA

|=2|

PM

|，∴

PA

=2

PM

或

PA

=-2

PM

，
①当

PA

=2

PM

时，（x₁，y₁-km）=2（-m，-km），可得x₁=-2m，y₁=-km．
由方程组

x 2 1 + y 2 1 =5m2 x1=-2m y1=-km

，解之得k=±1；
②当

PA

=-2

PM

时，利用类似①的方法列式，解得k=±

1

3

．
综上所述，满足条件的直线l的斜率为±1或±

1

3

．

点评：本题给出直线与圆相交，在满足向量等式的情况下求直线的斜率．着重考查了直线的基本量与基本形式、向量的坐标运算和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．