Question

已知动圆P过点F(0，

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)且与直线y=-

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4

相切．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．

Answer 1

分析：（1）因由直线与圆相切知：点P到定直线与到定点的距离相等，结合抛物线的定义即可知点P的轨迹从而求出方程C的方程．
（2）先利用导数求出直线AN，BN的斜率，进而求出直线AN，BN的方程，最后通过解方程求出点M的横坐标，它正好等于M的横坐标，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，
可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x²=y（4分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），∵y=x²，
∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分别
为2x₁，2x₂，故AN的方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁），
BN的方程为y-x₂²=2x₂（x-x₂）（7分）
即

y=2x1x- x 2 1 y=2x2x- x 2 2

，两式相减，得x=

x1+x2

2

，
∴M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴（10分）

点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及转化的能力，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．