Question

5．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，a，b满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（{a}^{2}-6a+23）+f（{b}^{2}-8b）≤0}\\{f（b+1）＞f（5）}\end{array}\right.$，那么a²+b²的取值范围是（　　）

• A． （17，49]
• B． [9，49]
• C． （17，41]
• D． [9，41]

Answer 1

分析 由f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，可将不等式可化为f（a²-6a+23）≤f（2-b²+8b），利用f（x）的单调性，可化为关于m的整式不等式（a-3）²+（b-4）²≤4，分析（a-3）²+（b-4）²≤4的几何意义，即可求得a²+n² 的取值范围．

解答 解：∵对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1-x）=-f（1+x）
∵f（a²-6a+23）+f（b²-8b）≤0，
∴f（a²-6a+23）≤-f[（1+（b²-8b-1）]，
∴f（a²-6a+23）≤f[（1-（b²-8b-1）]=f（2-b²+8b），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴a²-6a+23≤2-b²+8b，
∴（a-3）²+（b-4）²≤4（b＞4）
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，

∴（m-3）²+（n-4）²=4（b＞4）内的点到原点距离的取值范围为（$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$，5+2]，即（$\sqrt{17}$，7]，
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的平方，
∴m²+n² 的取值范围是（17，49]．
故选：A

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．