Question

设直线l：y=5x+4是曲线C：f（x）=+2x+m的一条切线，g（x）=ax²+2x-23．
（Ⅰ）求切点坐标及m的值；
（Ⅱ）当m∈Z时，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线l与曲线C相切于点P（x，y），利用导数的几何意义可得f′（x）=5即可解得切点的横坐标x，进而得到切点坐标及m的值；
（Ⅱ）解法一：由m∈Z，可得m=13，设h（x）=f（x）-g（x），则存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤0，利用导数和分类讨论即可得出
解法二：由f（x）≤g（x）得，
（ⅰ）当x≠0时，通过分离参数可得：，设，则存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立?h（x）_min≤a，利用导数即可得出；
（ⅱ）当x=0时，不等式不成立，可知：a不存在．
解答：解：（Ⅰ）设直线l与曲线C相切于点P（x，y），
∵f'（x）=x²-2x+2，∴=5，解得x=-1或x=3，
当x=-1时，y=-1，∵P（-1，-1）在曲线C上，∴，
当x=3时，y=19，∵P（3，19）在曲线C上，∴m=13，
∴切点P（-1，-1），，
切点P（3，19），m=13．       
（Ⅱ）解法一：∵m∈Z，∴m=13，
设，
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤0，
h'（x）=x²-2（1+a）x=x[x-2（1+a）]，
（ⅰ）若1+a≥0即a≥-1，令h'（x）＞0，得x＞2（1+a）或x＜0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（2（1+a），+∞）上是增函数，
令h'（x）≤0，解得0≤x≤2（1+a），
∴h（x）在[0，2（1+a）]上是减函数，∴h（x）_min=h（2（1+a）），
令h（2（1+a））≤0，解得a≥2，
（ⅱ）若1+a＜0即a＜-1，令h'（x）＞0，解得x＜2（1+a）或x＞0，
∵x∈[0，+∞），∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴h（x）_min=h（0），
令h（0）≤0，不等式无解，∴a不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a的取值范围为[2，+∞）．
解法二：由f（x）≤g（x）得，
（ⅰ）当x≠0时，，设
若存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，则只要h（x）_min≤a，
，
令h'（x）≥0解得x≥6，∴h（x）在[6+∞）上是增函数，
令h'（x）＜0，解得0＜x＜6，∴h（x）在（0，6）上是减函数，
∴h（x）_min=h（6）=2，∴a≥2，
（ⅱ）当x=0时，不等式不成立，
∴a不存在，
综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a的取值范围为[2，+∞）．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义、把问题等价转化等是解题的关键．