Question

设上的两点，已知向量，,若m·n=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.

  (Ⅰ)求椭圆的方程；

 （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】   解：（Ⅰ）由题意知

椭圆的方程为                       

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为

由已知得：                                    

     

(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由m·n=0

_得                         

又 在椭圆上，所以_，

_{所以S =}

所以三角形AOB的面积为定值                           

（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b

_,

                                

_由

                   

所以三角形的面积为定值.