Question

设数列{a_n}的首项a1=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an (n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，n∈N^*，记bn=a2n-1-

1

4

，cn=

sinn

|sinn|

bn，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当a＞

1

4

时，数列{c_n}前n项和为S_n，求S_n最值．

Answer 1

分析：（I）由且an+1=

1 2 an (n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，n∈N^*，求解可得a₂=a+

1

4

，a₃=

1

2

（a+

1

4

）．
（II）由记bn=a2n-1-

1

4

，可推知b_n=a_2n-1-

1

4

=

1

2

（a_2n-3+

1

4

）-

1

4

=

1

2

（a_2n-3-

1

4

）=

1

2

b_n-1，又因为b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

≠0由等比数列的定义可知数列{b_n}为等比数列．
（III）当a＞

1

4

时，{b_n}为正项等比数列，可由b_n+1+b_n+2+b_n+…+b_n+m=bn+1

1-( 1 2 )m

1- 1 2

＜2b_n+1=b_n，当n≥4时，s_n-s₃=-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn，从而有s_n-s₃＜b2-b3-b4-…-bn＜0同理，可得s_n-s₁=b₂+b₃-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn＞0，可推知：当n≥4，s₁＜s_n＜s₃，s₁＜s₂＜s₃从而得到结论．

解答：解：（I）a₂=a+

1

4

，a₃=

1

2

（a+

1

4

）
（II）∵b_n=a_2n-1-

1

4

=

1

2

（a_2n-3+

1

4

）-

1

4

=

1

2

（a_2n-3-

1

4

）=

1

2

b_n-1
∵b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

≠0
∴{bn}\为

1

2

的等比数列
（III）当a＞

1

4

时，
∵{b_n}为正项等比数列，
∴b_n+1+b_n+2+b_n+…+b_n+m=bn+1

1-( 1 2 )m

1- 1 2

＜2b_n+1=b_n
当n≥4时，s_n-s₃=-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn＜b2-b3-b4-…-bn＜0
s_n-s₁=b₂+b₃-b₄-b₅+…+

sinn

|sinn|

bn＞b2-b3-b4-…-bn＞0
当n≥4，s₁＜s_n＜s₃，s₁＜s₂＜s₃
故s_n的最大值为s₃=

7

4

（a+

1

4

），最小值为s₁=a+

1

4

点评：本题主要考查数列的定义，通项及前n项和，还考查了数列的构造及前n项和的最值问题．难度较大．