Question

已知直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：x²+y²-2x-4y-20=0．
（1）求证：直线L过定点；
（2）求直线L被圆C截得的线段最小长度，并求此时对应的m的值．

Answer 1

分析：（1）直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，显然过直线2x+y-7=0 及直线x+y-4=0的交点A，由

2x+y-7=0 x+y-4= 0

解得交点A的坐标．
（2）把 圆C的方程化为标准形式，求出圆心C的坐标和半径，要使直线L被圆C截得的线段长度最小，需心C到直线L的距离d最大，d的最大为CA线段的长度．此时，CA和直线L垂直，
斜率之积等于-1，解方程求得m的值．

解答：解：（1）直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，显然过直线2x+y-7=0 及直线x+y-4=0的交点A．
由

2x+y-7=0 x+y-4= 0

 解得交点A的坐标为（3，1），
故直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0经过定点A（3，1）．
（2）圆C：x²+y²-2x-4y-20=0 即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）为圆心，以5为半径的圆．
设圆心C到直线L的距离为d，要使直线L被圆C截得的线段长度最小，需d最大．由题意可知，d的最大为CA线段的长度．
由两点间的距离公式可得 CA=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

．
此时，CA和直线L垂直，斜率之积等于-1，
∴

1-2

3-1

•（-

2m+1

m+1

）=-1，解得 m=-

3

4

．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系的应用，判断圆心C到直线L的距离d的最大为CA线段的长度，是解题的关键．