Question

如图，在直线三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）设D是BB₁的中点，求DC₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）本题关键是证明平面（Ⅱ）

试题分析：解:(Ⅰ)三棱柱是直三棱柱,
平面,.
又,平面
平面,
平面,从而.                 
(Ⅱ)如图,以点为原点,为轴正方向,线段长度为单位长度,建立空间直角坐标系.

设,则,,,
则
由于直线与所成的角为,
所以,.           
,,设平面的法向量,
,可取.,.     
于是,
所以与平面所成角的正弦值为.
点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。当然，此类题目也经常要我们求出几何体的体积和表面积。