Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数，e是自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）试讨论函数h（x）=

lnx

f(x)

-x²+2ex-m的零点的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函数，可得f（0）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g(x)max≤t2+λt+1，由此可求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数h（x）=

lnx

x

-x2+2ex-m的零点的个数，即讨论方程

lnx

x

=x2-2ex+m根的个数，构造函数，确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函数
∴f（0）=0，∴f（0）=ln（e⁰+a）=0
∴ln（1+a）=0，∴a=0…（4分）
（Ⅱ）由（I）知f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，∴g′（x）=λ+cosx
又∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立．
∴λ≤-cosx对x∈[-1，1]恒成立，
∵[-cosx]_min=-1，∴λ≤-1…（6分）
∵g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g(x)max≤t2+λt+1…（7分）
∵g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
∴-λ-sin1≤t²+λt+1，
即（t+1）λ+t²+sin1+1≥0对λ≤-1恒成立
令F（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1），则

t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0

…（8分）
∴

t≤-1 t2-t+sin1≥0

，∴t≤-1．…（9分）
（Ⅲ）由（I）知f（x）=x，∴h（x）=

lnx

x

-x2+2ex-m
∴讨论函数h（x）=

lnx

x

-x2+2ex-m的零点的个数，即讨论方程

lnx

x

=x2-2ex+m根的个数．
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f1′(x)=

1-lnx

x2

，
∴当x∈（0，e）时，f₁′（x）＞0，∴f₁（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f₁′（x）＜0，∴f₁（x）在（e，+∞）上为减函数，
∴当x=e时，f₁（x）_max=f₁（e）=

1

e

而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴函数f₁（x）、f₂（x）在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无解．函数h（x）没有零点；---（10分）
②当m-e²=

1

e

，即m=e2+

1

e

时，方程有一个根．函数h（x）有1个零点…（11分）
③当m-e²＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根．函数h（x）有2个零点．…（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，属于中档题．