Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量

OA

，

OB

满足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，设圆C的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为

2 5

5

时，求p的值．

Answer 1

分析：（1）根据两个向量模长之间的关系，两边平方，移项合并得到数量积为零，用坐标表示出来，根据点是圆上的点，得到线段垂直，从而数量积为零，把两个式子进行比较，整理得到结果．
（2）根据两个点是抛物线上的点，把点的坐标代入抛物线方程，整理变化得到圆心的轨迹方程，表示出圆心到直线的距离，根据二次函数的最值得到结果，本题考查运算能力．

解答：解：（1）∵向量

OA

，

OB

满足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴(

OA

+

OB

) 2=(

OA

-

OB

) 2
即

OA

2+2

OA

•

OB

+

OB

2=

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2
整理得

OA

•

OB

=0
∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）
∴x₁x₂+y₁y₂=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则

MA

•

MB

=0
即（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0
展开上式并将 ①代入得x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0
故线段AB是圆C的直径．
（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂（p＞0），
∴x₁x₂=

y12y22

4p2

又∵x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂=-y₁y₂
∴-y₁y₂=

y12y22

4p2

∴y₁y₂=-4p²
∴x=

x1+x2

2

=

1

4p

（y₁²+y₂²）
=

1

4p

（y₁²+y₂²+2y₁y₂）-

y1y2

2p

=

1

p

（y²+2p²）
∴圆心的轨迹方程为：y²=px-2p²
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
d=

|x-2y|

5

=

| 1 p (y2+2p2)-2y|

5

=

|(y-p)2+p2|

5 p

当y=p时，d有最小值

p

5

，
由题设得?

p

5

=

2 5

5

∴p=2

点评：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力．本题是一个综合题，考查的知识点比较多，是一个难题．