Question

设函数f（x）=log₂（x+1），（x＞-1）
（1）求其反函数f^-1（x）； 
（2）解方程f^-1（x）=4^x-7．

Answer 1

分析：（1）利用指数是与对数式的互化关系，按照求反函数的步骤逐步求出函数y=log₂（x+1）的反函数，然后根据原函数的值域确定反函数的定义域即可；
（2）由（1）得：f^-1（x）=4^x-7，即2^x-1=4^x-7将2^x看成整体求解此方程即得．

解答：解：（1）由y=log₂（x+1），
可得x+1=2^y，
即：x=-1+2^y，将x、y互换可得：y=2^x-1，
y=log₂（x+1），
所以函数y=log₂（x+1）的
反函数的表达式：f^-1（x）=2^x-1，（x∈R）；------------------（4分）
（2）由已知⇒2^x-1=4^x-7⇒（2^x-3）（2^x+2）=0⇒2^x-3=0⇒x=log₂3---------------------（4分）

点评：本题考查反函数的求法，注意函数的定义域和值域，这种题目易错点在反函数定义域的确定上，有同学会利用反函数的解析式来求，这就错了，必须利用原函数的定义域来确定．