【题目】已知函数,
(
为常数).
(1)函数的图象在点
处的切线与函数
的图象相切,求实数
的值;
(2)若函数在定义域上存在单调减区间,求实数
的取值范围;
(3)若,
,且
,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析: (1)求出函数的图象在点
的切线方程,再由直线与抛物线相切,
,求出实数
的值; (2)由题意构造函数
,求出
,
在
上有解,再由二次函数相关知识求出
的范围; (3)假定
,先分别求出函数
在
上的单调性,将原不等式转化为
,即
在
上为增函数,求出实数
的范围.
试题解析:(1)因为,所以
,因此
,
所以函数的图象在点
处的切线方程为
,
由得
.
由,得
.
(还可以通过导数来求)
(2)因为
,
所以,
由题意知在
上有解,
因为,设
,因为
,
则只要解得
,
所以的取值范围是
.
(3)不妨设,
因为函数在区间
上是增函数,
所以,
函数图象的对称轴为
,且
.
当时,函数
在区间
上是减函数,
所以,
所以,
等价于,
即,
等价于
在区间
上是增函数,
等价于在区间
上恒成立,
等价于在区间
上恒成立,所以
,又
,所以
.
点睛: 本题主要考查导数的应用,包括导数的几何意义,导数与单调性,属于中档题.本题在第3问中注意解题思想:等价转换,将原不等式转化为求在
上为增函数,等价于
在区间
上恒成立,分离出
,转化为求
在
上的最小值.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线,使得当直线
与椭圆
有两个不同交点
、
时,能在直线
上找到一点
,在椭圆
上找到一点
,满足
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知,
是两条不同直线,
,
是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A. 若,
垂直于同一平面,则
与
平行
B. 若,
平行于同一平面,则
与
平行
C. 若,
不平行,则在
内不存在与
平行的直线
D. 若,
不平行,则
与
不可能垂直于同一平面
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间,
,
内的频率之比为
.
(Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间内的频率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意
抽取2件产品,求这2件产品都在区间内的概率.
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【题目】已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a、b、c,若cosBcosC﹣sinBsinC= .
(1)求角A;
(2)若a=2 ,b+c=4,求△ABC的面积.
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【题目】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查,得到如下列联表(平均每天喝500ml以上为常喝,体重超过50kg为肥胖):
常喝 | 不常喝 | 合计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
合计 | 30 |
已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为 .
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由;
(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生),抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
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【题目】随着社会发展,淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象。交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有5个级别:T∈[0,2)畅通;T∈[2,4)基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵.早高峰时段(T≥3 ),从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段,依据交通指数数据绘制的直方图如图所示:
(I)据此直方图估算交通指数T∈[4,8)时的中位数和平均数;
(II)据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少?
(III)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为35分钟,中度拥堵为45分钟,严重拥堵为60分钟,求此人用时间的数学期望.
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