Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），
从而=（-λ，，-1），=（0，1，），=（-λ）×0+×1-1×=0，所以PN⊥AM．
（2）平面ABC的一个法向量为 ==（0，0，1）．
设平面PMN的一个法向量为 =（x，y，z），
由（1）得 =（λ，-1，）．
由
解得
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜，＞|=||==，
解得λ=-．（11分）
故点P在B₁A₁的延长线上，且|A₁P|=．（12分）
分析：（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断 =0，即PN⊥AM；
（2）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P的位置．
点评：本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．