Question

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项．
[理科]根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．

Answer 1

解：（1）显然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2对任意正整数都成立，
即{a_n}是三角形数列．（2分）
因为k＞1，显然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2），
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k＜．
所以当k∈（1，）时，f（x）=k^x是数列{a_n}的“保三角形函数”．（5分）
（2）由4S_n+1-3S_n=8040得4S_n-3S_n-1=8040，两式相减得4c_n+1-3c_n=0
所以，c_n=2010，
经检验，此通项公式满足4S_n+1-3S_n=8040 （7分）
显然c_n＞c_n+1＞c_n+2，因为c_n+1+c_n+2=2010+2010=•2010＞c_n，
所以{c_n}是“三角形”数列．（10分）
（3）[文科]因为g（c_n）是单调递减函数，所以，由lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2得
lg2010+（n-2）lg+lg2010+（n-1）lg＞lg2010+（n-3）lg（14分）
化简得lg2010＞nlg，解得n＜26.4，
即数列{b_n}最多有26项．（18分）
（3）[理科]探究过程：函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形数列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1．
②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d≤A．
③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形数列．
由于h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是单调递减函数，所以h（1+d）+h（1+2d）＞h（1），解得0＜d＜．
分析：（1）先有条件得{a_n}是三角形数列，再利用f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，得到kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²，解得k的取值范围；
（2）先利用条件求出数列{c_n}的通项公式，再证明其满足“三角形”数列的定义即可；
（3）[文科]利用条件得到g（c_n）是单调递减函数以及lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2得，解此不等式找到对应的范围即可得出结论．
[理科]根据函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”，可以得到①1，1+d，1+2d（d＞0）是三角形数列，所以1+1+d＞1+2d，即o＜d＜1，②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d≤A，③h（1），h（1+d），h（1+2d）是三角形数列；结论为在利用h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]是单调递减函数，就可求出对应d的范围．
点评：本题是在新定义下对数列的综合考查．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题．