Question

【题目】已知正数x、y满足xy=x+y+3．
（1）求xy的范围；
（2）求x+y的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正数x、y满足x+y+3=xy，

∴xy=x+y+3≥3+2 ，即xy﹣2 ﹣3≥0，可以变形为（ ﹣3）（ +1）≥0，

∴ ≥3，即xy≥9，

当且仅当x=y=3时取等号，

∴xy的范围是[9，+∞）

（2）解：∵x、y均为正数，

∴x+y≥2 ，则xy≤ ，

∴x+y+3=xy≤ ，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，

化简可得，（x+y+2）（x+y﹣6）≥0，

∴x+y≥6，

当且仅当x=y=3时取等号，

∴x+y的范围是[6，+∞）

【解析】（1）根据x+y≥2 ，将xy=x+y+3中的x+y消去，然后解不等式可求出xy的范围，注意等号成立的条件；（2）根据xy≤ ，将xy=x+y+3中的xy消去，然后解不等式可求出x+y的范围，注意等号成立的条件．
【考点精析】通过灵活运用基本不等式在最值问题中的应用，掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”即可以解答此题．