Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）函数y的最小正周期；
（2）函数y的递增区间．

Answer 1

分析：（1）先对函数解析式整理，然后利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式和两角和公式化简整理求得函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质性质求得函数的最小正周期．
（2）根据（1）中函数的解析式，利用正弦函数的单调性求得函数递增时2x+

π

4

的范围，进而求得x的范围，即函数f（x）的递增区间．

解答：解：（1）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，

∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴函数的增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式和两角和公式化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．