Question

20．已知函数f（x）=|x²-1|+（k+4）x，g（x）=x²-4x．
（1）若函数f（x）的图象过点（1，0），求k的值；
（2）若函数y=g（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（区间[p，q]的长度为q-p）；
（3）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个不同的x₁，x₂解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数经过的点求出k即可．
（2）化简g（x）=（x-2）²-4，x∈[t，4]．通过①当2≤t＜4时，②当0≤t＜2时，③当t＜0时，转化求解t的范围．
（3）当0＜x≤1时，方程h（x）=0转化求解，当1＜x＜2时，方程h（x）=0化为2x²+kx-1=0，求解k的范围即可．

解答 解：（1）∵f（1）=0，即k+4=0，∴k=-4．…（3分）
（2）∵g（x）=x²-4x=（x-2）²-4，x∈[t，4]．…（4分）
①当2≤t＜4时，g（t）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[t²-4t，0]，
∴0-（t²-4t）=7-2t，解之得$t=3±\sqrt{2}∉[2，4）$，∴t∈ϕ．…（5分）
②当0≤t＜2时，g（2）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[-4，0]，
即7-2t=4，解之得$t=\frac{3}{2}∈（0，2）$，∴$t=\frac{3}{2}$．…（6分）
③当t＜0时，g（2）≤g（x）≤g（t）⇒g（x）∈[-4，t²-4t]，
即t²-4t+4=7-2t，解之得t=-1或t=3∉（-∞，0），∴t=-1；
综上所述，$t=\frac{3}{2}$或t=-1．…（8分）
（3）当0＜x≤1时，方程h（x）=0化为kx+1=0，k=0时，无解，k≠0时，$x=-\frac{1}{k}$；…（9分）
∴$0＜-\frac{1}{k}≤1$，∴k≤-1．
当1＜x＜2时，方程h（x）=0化为2x²+kx-1=0，$x=\frac{{-k±\sqrt{{k^2}+8}}}{4}$，
而$\frac{{-k-\sqrt{{k^2}+8}}}{4}＜\frac{-k-|k|}{4}≤0$，故f（x）=0在区间（1，2）内至多有一解：$x=\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8}}}{4}$，
∴$1＜\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8}}}{4}＜2$，∴$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．…（12分）
综合所述，$-\frac{7}{2}＜k＜-1$．…（12分）

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．