(本小题满分14分)
解法一:
(1)证明:连接BD.
∵ABCD-A
1B
1C
1D
1是正四棱柱,∴B
1B⊥平面ABCD,
∴BD是B
1D在平面ABCD上的射影,….(2分)
∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD,….(4分)
根据三垂线定理∴AC⊥B
1D.…..(6分)
(2)设AC∩BD=F,连接EF.∵DE⊥平面ABCD,且AC⊥BD,…(7分)
根据三垂线定理得AC⊥FE,又AC⊥FB,∴∠EFB是二面角E-AC-B的平面角.…..(9分)
在Rt△EDF中,由
DE=DF=,得∠EFD=45°.…..(12分)
∴∠EFB=180°-45°=135°,…(13分)
即二面角E-AC-B的大小是135°.…..(14分)
解法二:∵ABCD-A
1B
1C
1D
1是正四棱柱,∴DA、DC、DD
1两两互相垂直
如图,以D为原点,直线DA,DC,DD
1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.….(1分)
| D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0), | C(0,1,0),B1(1,1,) |
| |
…..(3分)
(1)证明:
∵
=(-1,1,0),=(1,1,)….(4分)
∴
•=0,∴AC⊥B
1D.…..(6分)
(2)
连接BD,设AC∩BD=F,连接EF.
∵DE⊥平面ABCD,且AC⊥BD∴AC⊥FE,AC⊥FB…(8分)
∴∠EFB是二面角E-AC-B的平面角.…..(9分)
∵底面ABCD是正方形
∴
F(,,0),∴
=(,,0),=(-,-,),.….(11分)
…..(13分)
∴
cos<,>==-
…(13分)
∴二面角E-AC-B的大小是135°.…..(14分)