Question

定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”．
下列直线：①y=1；②3x-4y+12=0；③2x+y=0；④12x-5y-17=0
其中是圆（x+1）²+（y-2）²=4“相关直线”的是

②③

 （只填序号）

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，根据题中的新定义及圆的半径为1，得到圆心到直线的距离小于1时，圆上恰有四个点到一直线距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”；当圆心到直线的距离大于等于1时，圆上不是有四个点到这一直线距离等于1，即此时直线不能称为这个圆的“相关直线”，故利用点到直线的距离公式分别求出圆心到各直线的距离d，用d与1比较大小，即可得到圆“相关直线”的条数．

解答：解：由圆（x+1）²+（y-2）²=4，得到圆心坐标为（-1，2），半径r=2，
①圆心到直线y=1的距离d=1，故圆上有三个点到直线y=1的距离等于1，
∴直线y=1不是圆的“相关直线”；
②圆心到直线3x-4y+12=0的距离d=

1

5

＜1，故圆上恰有四个点到直线3x-4y+12=0距离等于1，
∴直线3x-4y+12=0为圆的“相关直线”；
③圆心到直线2x+y=0的距离d=

0

5

=0＜1，故圆上恰有四个点到直线2x+y=0距离等于1，
∴直线2x+y=0为圆的“相关直线”；
④圆心到直线12x-5y-17=0的距离d=

39

13

=3＞1，故圆上有两个点到直线12x-5y-17=0的距离等于1，
∴直线12x-5y-17=0不是圆的“相关直线”，
综上，选项中为圆的“相关直线”的是②③．
故答案为：②③

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，属于新定义的题型，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，利用了转化的思想，其中把新定义直线称为圆的“相关直线”转化为圆心到直线的距离小于1是解本题的关键．