Question

4．已知点M（1，1），圆（x+1）²+（y-2）²=4，直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求过M点的圆的切线方程
（2）当|MA|²+|MB|²取得最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）当直线的斜率不存在时，方程为x=1，直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k（x-1），由圆心到直线距离为半径求出k，由此能求出过M点的圆的切线方程．
（2）设直线l的方程为y-1=k（x-1），k＜0，则A（1-$\frac{1}{k}$，0），B（0，1-k），由此利用均值定理能求出直线l的方程．

解答 解：（1）圆（x+1）²+（y-2）²=4的圆心C（-1，2），半径为r=2，
直线l过点M（1，1），当直线的斜率不存在时，方程为x=1．
由圆心C（-1，2）到直线x=1的距离d=3-1=2=r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k（x-1），
即kx-y+1-k=0．
由题意知$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$．
故方程为y-1=$\frac{3}{4}$（x-1），即3x-4y+1=0．
故过M点的圆的切线方程为x=1或3x-4y+1=0．
（2）设直线l的斜率为k，则k＜0，
直线l的方程为y-1=k（x-1），
则A（1-$\frac{1}{k}$，0），B（0，1-k），
所以|MA|²+|MB|²=（1-1+$\frac{1}{k}$）²+1²+1²+（1-1+k）²
=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2+2$\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}$=4，
当且仅当k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=-1时，|MA|²+|MB|²取得最小值4，
此时直线l的方程为x+y-2=0．

点评 本题考查圆的切线方程的求法，考查满足条件的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线方程性质、点到直线的距离公式的合理运用．