Question

3．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\frac{\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{5}$-$\frac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}$=$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），求证向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线．

Answer 1

分析 根据向量的混合运算和向量共线的条件即可证明．

解答 证明：$\frac{\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{5}$-$\frac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}$=$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），
∴2（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）-5（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），
∴2$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow{b}$-5$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow{b}$=6$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$，
∴7$\overrightarrow{b}$=9$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{b}$=$\frac{9}{7}$$\overrightarrow{a}$，
∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，
∴向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线．

点评 本题考查向量共线的充要条件，属于基础题．