Question

已知椭圆(a＞b＞0)的右焦点为F，经过点F作倾斜角为135°的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M，且直线AB与OM的夹角为θ，且tanθ=3,求这个椭圆离心率.

Answer 1

思路点拨：本题先根据题意求出直线AB的斜率，再依据直线与椭圆的方程联立消去其中一个未知数，找到相应的两个交点A、B的横(或纵)坐标之间的关系，表示出相应的中点M的坐标，从而将问题解决.

解：设点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB的中点为M(x₀,y₀)，则，,两式相减可得k_AB=,∴a²y₀²=b²x₀².

又k_OM=，而=tanθ=3，故k_OM=或k_OM=2(∵a＞b，＜1,

    ∴k_OM=2舍去).

    ∴1-e²=，e=为所求.

［一通百通］ 有关椭圆与直线的交点问题，通常的方法就是联立它们的方程组成方程组，再由此消去一个未知数，从而利用根与系数间的关系将问题解决.