Question

知圆C₁的方程为(x－2)²+(y－1)²=,椭圆C₂的方程为=1(a＞b＞0)，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程.

Answer 1

椭圆方程为=1.

由e=,可设椭圆方程为=1,
又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,
又=1,两式相减，得=0,
即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.
化简得=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,
代入椭圆方程得3x²－12x+18－2b²=0.
有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,
得，解得b²=8.
故所求椭圆方程为=1.