Question

已知函数y=

x2+mx+3

x+n

的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），求实数m，n的值．

Answer 1

分析：把函数的分母看做一个整体，用t表示，把函数中所有的x都用含t的式子表示，由均值定理，就可求出函数的值域，又因为已知函数的值域为（-∞，-2]∪[4，+∞），两个值域相同，就可求出m，n的值．

解答：解：设t=x+n，则x=t-n
y=

x2+mx+3

x+n

=

(t-n) 2+m(t-n)+3

t

=

t2+(m-2n)t+n2-mn+3

t

=t+

n2-mn+3

t

+m-2n
当t＞0时，则y≥2

n2-mn+3

+m-2n
当t＜0时，则y≤-2

n2-mn+3

+m-2n
∵函数y=

x2+mx+3

x+n

的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴2

n2-mn+3

+m-2n=4且-2

n2-mn+3

+m-2n=-2
解得

m=2 n= 1 2

或

m=-2 n=- 3 2

点评：本题主要考查了应用均值定理求函数的值域的，注意凑均值定理的形式，另外注意观察均值定理的条件是否具备．