如图.椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M.过坐标原点O的直线l与C2相交于点A.B.直线MA.MB分别与C1相交于点D.E．(Ⅰ)求C1.C2的方程,(Ⅱ)求证:MA⊥MB:(Ⅲ)记� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的短轴长，C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA，MB分别与C₁相交于点D、E．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）求证：MA⊥MB：
（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ，求λ的最小值．

分析（I）离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a²=2c²=2b²，又x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长2$\sqrt{b}$=2b，解得b，a²．可得曲线C₂的方程；曲线C₁的方程．
（II）设直线AB的方程为：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（0，-1）．与抛物线方程联立可得：x²-kx-1=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质即可证明MA⊥MB．
（III）设直线MA的方程：y=k₁x-1；MB的方程为：y=k₂x-1，且k₁k₂=-1．分别与抛物线椭圆方程联立解得A，B，D，E的坐标，利用三角形面积计算公式即可得出，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答（I）解：离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²=2b²，
又x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长2$\sqrt{b}$=2b，解得b=1．∴a²=2．
∴曲线C₂的方程为：y=x²-1；
曲线C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）证明：设直线AB的方程为：y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（0，-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，化为：x²-kx-1=0，∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=（k²+1）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=-（k²+1）+k•k+1=0．
∴MA⊥MB．
（III）解：设直线MA的方程：y=k₁x-1；MB的方程为：y=k₂x-1，且k₁k₂=-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x={k}_{1}}\\{y={k}_{1}^{2}-1}\end{array}\right.$，∴A$（{k}_{1}，{k}_{1}^{2}-1）$．
同理可得B$（{k}_{2}，{k}_{2}^{2}-1）$．
S₁=$\frac{1}{2}$|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}$$\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}$|k₁|•|k₂|．
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4{k}_{1}}{1+2{k}_{1}^{2}}}\\{y=\frac{2{k}_{1}^{2}-1}{1+2{k}_{1}^{2}}}\end{array}\right.$，∴D$（\frac{4{k}_{1}}{1+2{k}_{1}^{2}}，\frac{2{k}_{1}^{2}-1}{1+2{k}_{1}^{2}}）$．
同理可得：E$（\frac{4{k}_{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}，\frac{2{k}_{2}^{2}-1}{1+2{k}_{2}^{2}}）$，
∴S₂=$\frac{1}{2}|MD|•|ME|$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}$$\sqrt{1+{k}_{2}^{2}}$•$\frac{|16{k}_{1}{k}_{2}|}{（1+2{k}_{1}^{2}）（1+2{k}_{2}^{2}）}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=λ=$\frac{（1+2{k}_{1}^{2}）（1+2{k}_{2}^{2}）}{16}$=$\frac{5+2（{k}_{1}^{2}+\frac{1}{{k}_{1}^{2}}）}{16}$$≥\frac{9}{16}$，
所以λ的最小值为$\frac{9}{16}$，此时k=1或-1．

点评本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆抛物线相交问题、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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