Question

如下图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=a，且PD是四棱锥的高.

(1)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

(2)求四棱锥外接球的半径.

Answer 1

答案：
解析：

(1)思路：当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解. 解：设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、 SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R， VP—ABCD=·SABCD·PD=·a·a·a=a3， S△PAD=S△PDC=·a·a=a2， S△PAB=S△PBC=·a·a=a2， SABCD=a2. VP—ABCD=VS—PDA+VS—PDC+VS—ABCD+VS—PAB+VS—PBC， a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+SABCD)， a3=R(a2+a2+a2+a2+a2)，(2+)a2=a3， ∴R==a=(1－)a. ∴球的最大半径为(1－)a (2)思路：四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径， 只要找出球心的位置即可.在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，则 PF=FB=FD，只要证明FA=FC=FP即可. 解：设PB的中点为F， ∵在Rt△PDB中，FP=FB=FD， 在Rt△PAB中，FA=FP=FB， 在Rt△PBC中，FP=FB=FC， ∴FP=FB=FA=FC=FD. ∴F为四棱锥外接球的球心. 则FP为外接球的半径. ∵FB=PB，∴FB=a.∴四棱锥外接球的半径为a.