A. | $\sqrt{3}$ | B. | 3 | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | 6 |
分析 由投影相等得出数量积相等,得出a,b的关系,利用基本不等式得出$\sqrt{ab}$的最大值.计算(2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$)2的最大值,再开方即可求出2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的最大值.
解答 解:∵$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同,∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$,
即4a-2=4-b,∴4a+b=6.
∵4a+b≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$,即6≥4$\sqrt{ab}$,∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{3}{2}$.
∴(2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$)2=4a+b+4$\sqrt{ab}$=6+4$\sqrt{ab}$≤6+6=12.
∴2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$.
故选:C.
点评 本题考查了平面向量的数量积运算,基本不等式的应用,属于中档题.
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A. | -2 | B. | 0 | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 2 |
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