Question

有下列命题：①在函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称；③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则^?p是：存在，使得sinx＞1．其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①求出函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的周期，即可判断相邻两个对称中心的距离为π的正误；
②化简函数y=

x+3

x-1

求出对称中心，即可判断它的图象关于点（-1，1）对称的正误；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，利用判别式求解即可判断，实数a=-1的正误；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，写出^?p即可判断正误．

解答：解：①在函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的图象中，函数的周期是π，相邻两个对称中心的距离为π，是错误的；
②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（1，1）对称；所以它的图象关于点（-1，1）对称是不正确的；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则△=0，所以实数a=-1；正确；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则^?p是：存在，使得sinx＞1．这是正确的．
故答案为：③④

点评：本题是基础题，考查三角函数的周期，反比例函数的对称性，方程的根，命题的否定，是综合题目，基本知识掌握的情况，决定解题的好坏．