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已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)
(1)求证:椭圆过定点;
(2)若椭圆的离心率在数学公式上变化时,求椭圆长轴的取值范围.

解:(1)证明:由…(2分)
由△=4n2-4(m+n)(n-1)>0得:m+n-mn>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:
∵OA⊥OB,∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,
,即
∴椭圆恒过定点
(2)设椭圆的焦点在x轴上,
,∴,∴
由(1)得n=2-m,代入上式,得,得

∴椭圆长轴的取值范围是[].
分析:(1)由,由△=4n2-4(m+n)(n-1)>0得:m+n-mn>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则:,由此能够推导出椭圆恒过定点.
(2)设椭圆的焦点在x轴上,由,知,所以.由n=2-m,得,得,由此能求出椭圆长轴的取值范围.
点评:本题考查椭圆过定点的证明和求椭圆长轴的取值范围.解题时要认真审题,注意椭圆性质的灵活运用.
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(2)若椭圆的离心率在[
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2
2
]
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(1)求证:椭圆过定点;
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