Question

已知命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根
∴

x1+x2=m x1x2=-2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

∴当m∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立．
可得：a²-5a-3≥3，∴a≥6或a≤-1，
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1，
命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解．
①当a＞0时，显然有解．
②当a=0时，2x-1＞0有解
③当a＜0时，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
从而命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解时a＞-1．
又命题q是假命题，
∴a≤-1，
故命题p是真命题且命题q是假命题时，
a的取值范围为a≤-1．

点评：若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是C_RA．这个结论在命题的否定中经常用到，请同学们熟练掌握